Cho tập S = \(\left\{1;2;3;...2014\right\}\) được phân thành các cặp rời nhau \(\left\{a_i;b_1;1\le i\le1007\right\}\)sao cho \(\left|a_i-b_1\right|\) bằng 1 hoặc 6 . Hãy tìm chữ số tận cùng của T = \(\sum\limits^{1007}_{i=1}\left|a_i-b_i\right|\)
Những câu hỏi liên quan
Cho A={1;2;...;1998}. Chia A thành 999 cặp rời nhau \(\left(a_i,b_i\right)\)sao cho I\(a_i-b_1\)I = 1 hoặc I \(a_i-b_i\)I = 6, \(i=\overline{1,999}\)
Chứng minh rằng: I \(a_1-b_1\)I + I \(a_2-b_2\)I + ... + I \(a_{999}-b_{999}\)I có chữ số tận cùng là 9.
nếu đã cho lai-bil=6 thì la1-b1l+...+la999-b999l có tận cùng là 4 chứ
Đúng 0
Bình luận (0)
Hướng giải như này: Giả sử có k cặp ai bi có giá trị tuyệt đối của hiệu bằng 6. Khi đó tổng đã cho bằng 6k+999-k=5k+999
Mình đang cần chứng minh k chẵn.
Đúng 0
Bình luận (0)
17 tháng 10 2023 lúc 18:10
Cho Sleft{1,2,...,nright}, A_isubset S, ioverline{1,k} thỏa mãn các điều kiện sau:
i) left|A_iright|gedfrac{n}{2},forall ioverline{1,k}
ii) left|A_icap A_jright|ledfrac{n}{4},forall ine j;i,joverline{1,k}
Chứng minh rằng left|A_1cup A_2cup...cup A_kright|gedfrac{kn}{k+1}
Đọc tiếp
Cho \(S=\left\{1,2,...,n\right\}\), \(A_i\subset S\), \(i=\overline{1,k}\) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) \(\left|A_i\right|\ge\dfrac{n}{2},\forall i=\overline{1,k}\)
ii) \(\left|A_i\cap A_j\right|\le\dfrac{n}{4},\forall i\ne j;i,j=\overline{1,k}\)
Chứng minh rằng \(\left|A_1\cup A_2\cup...\cup A_k\right|\ge\dfrac{kn}{k+1}\)
Cho \(a_1,a_2,..,a_n\) là các số nguyên dương và n>1.
Đặt \(A=a_1a_2...a_n,\) \(A_i=\dfrac{A}{a_i}\left(i=\overline{1,n}\right)\). CM các đẳng thức sau:
a) \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=A\)
b) \(\left[a_1,a_2,..,a_n\right]\left(A_1,A_2,...,A_n\right)=A\)
a) Đặt \(d=\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=dx_1\\a_2=dx_2\\...\\a_n=dx_n\end{matrix}\right.\) (với \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\)).
Ta có \(A_i=\dfrac{A}{a_i}=\dfrac{d^nx_1x_2...x_n}{dx_i}=d^{n-1}\dfrac{x_1x_2...x_n}{x_i}=d^{n-1}B_i\forall i\in\overline{1,n}\).
Từ đó \(\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d^{n-1}\left[B_1,B_2,...,B_n\right]\).
Mặt khác do \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\Rightarrow\left[B_1,B_2,...B_n\right]=x_1x_2...x_n\).
Vậy \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d.d^{n-1}x_1x_2...x_n=d^nx_1x_2...x_n=A\).
Đúng 1
Bình luận (0)
11 tháng 1 lúc 20:55
Cho đa thức Pleft(xright)a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 với a_nne0. Giả sử alpha là nghiệm của P(x). Chứng minh rằng:a) left|alpharight| 1+maxleft|dfrac{a_i}{a_n}right|left(0le ile n-1right)b) left|alpharight|le2maxleft|dfrac{a_i}{a_n}right|left(0le ile n-1right)
Đọc tiếp
Cho đa thức \(P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\) với \(a_n\ne0\). Giả sử \(\alpha\) là nghiệm của P(x). Chứng minh rằng:
a) \(\left|\alpha\right|< 1+max\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|\left(0\le i\le n-1\right)\)
b) \(\left|\alpha\right|\le2max\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|\left(0\le i\le n-1\right)\)
- Nếu \(a_i=0\) ; \(\forall i\in\left(0;n-1\right)\Rightarrow a_nx^n=0\Rightarrow\alpha=0< 1\) thỏa mãn
- Nếu tồn tại \(a_i\ne0\), đặt \(max\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|=A>0\)
Do \(\alpha\) là nghiệm nên:
\(a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+...+a_1\alpha+a_0=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a_0}{a_n}+\dfrac{a_1}{a_n}\alpha+...+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\alpha^{n-1}=-\alpha^n\)
\(\Leftrightarrow\left|\alpha^n\right|=\left|\dfrac{a_0}{a_n}+\dfrac{a_1}{a_n}\alpha+...+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\alpha^{n-1}\right|\)
\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le\left|\dfrac{a_0}{a_n}\right|+\left|\dfrac{a_1}{a_n}\right|.\left|\alpha\right|+...+\left|\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\right|.\left|\alpha^{n-1}\right|\le A+A.\left|\alpha\right|+...+A.\left|\alpha^{n-1}\right|\)
\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le A\left(1+\left|\alpha\right|+\left|\alpha^2\right|+...+\left|\alpha^{n-1}\right|\right)\)
\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le A.\dfrac{\left|\alpha^n\right|-1}{\left|\alpha\right|-1}\)
TH1: Nếu \(\left|\alpha\right|\le1\) hiển nhiên ta có \(\left|\alpha\right|< 1+A\) (đpcm)
TH2: Nếu \(\left|\alpha\right|>1\)
\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le\dfrac{A.\left|\alpha^n\right|}{\left|\alpha\right|-1}-\dfrac{A}{\left|\alpha\right|-1}< \dfrac{A.\left|\alpha^n\right|}{\left|\alpha\right|-1}\)
\(\Leftrightarrow\left|\alpha\right|-1< A\Rightarrow\left|\alpha\right|< 1+A\) (đpcm)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho fleft(xright)x^3-3x
a. Chứng minh rằng tồn tại các số thực a, b, c đôi một phân biệt sao cho fleft(aright)b,fleft(bright)c,fleft(cright)a
b. Giả sử tồn tại 3 bộ số thực left(a_i,b_i,c_iright) với ioverline{1,3} gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho fleft(a_iright)b_i,fleft(b_iright)c_i,fleft(c_iright)a_i với ioverline{1,3}. Đặt Sa_i+b_i+c_i với ioverline{1,3}, chứng minh rằng S_1^2+S_2^2+S_3^2ne S_1S_2+S_2S_3+S_1S_3
Đọc tiếp
Cho \(f\left(x\right)=x^3-3x\)
a. Chứng minh rằng tồn tại các số thực a, b, c đôi một phân biệt sao cho \(f\left(a\right)=b,f\left(b\right)=c,f\left(c\right)=a\)
b. Giả sử tồn tại 3 bộ số thực \(\left(a_i,b_i,c_i\right)\) với \(i=\overline{1,3}\) gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho \(f\left(a_i\right)=b_i,f\left(b_i\right)=c_i,f\left(c_i\right)=a_i\) với \(i=\overline{1,3}\). Đặt \(S=a_i+b_i+c_i\) với \(i=\overline{1,3}\), chứng minh rằng \(S_1^2+S_2^2+S_3^2\ne S_1S_2+S_2S_3+S_1S_3\)
16 tháng 12 2023 lúc 19:11
Cho n điểm A_1,A_2,...,A_n trong không gian, trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng left(nge2right). Mỗi cặp điểm A_i,A_j được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng được tô bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Tìm n lớn nhất sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
a) Với mỗi 1le ile n, số đoạn thẳng có một đầu mút là A_i được tô màu xanh không vượt quá 4.
b) Với mỗi đoạn A_iA_j được tô màu đỏ, tồn tại điểm A_k khác A_i,A_j sao cho các đoạn A_kA_i và A_kA_j đều được tô màu xanh.
Đọc tiếp
Cho \(n\) điểm \(A_1,A_2,...,A_n\) trong không gian, trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng \(\left(n\ge2\right)\). Mỗi cặp điểm \(A_i,A_j\) được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng được tô bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Tìm \(n\) lớn nhất sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
a) Với mỗi \(1\le i\le n\), số đoạn thẳng có một đầu mút là \(A_i\) được tô màu xanh không vượt quá 4.
b) Với mỗi đoạn \(A_iA_j\) được tô màu đỏ, tồn tại điểm \(A_k\) khác \(A_i,A_j\) sao cho các đoạn \(A_kA_i\) và \(A_kA_j\) đều được tô màu xanh.
Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho số 2015 bằng tổng của n số \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)trong đó \(a_i\left(i=1,2,3,...,n\right)\)đều là hợp số .
cho 2007 số nguyên khác nhau a_1,a_2,a_3,...,a_{2007}. Mỗi số b_1,b_2,...,b_{2007} là một số trong số các sốa_1,a_2,...,a_{2007} ( b_ine b_j nếu i ne j và a_ine b_i). Chứng minh: Trong các số hiệu sau: left(a_1-b_1right),left(a_2-b_2right),...,left(a_{2007}-b_{2007}right) có ít nhất một số âm và ít nhất một số dương.
Đọc tiếp
cho 2007 số nguyên khác nhau \(a_1,a_2,a_3,...,a_{2007}\). Mỗi số \(b_1,b_2,...,b_{2007}\) là một số trong số các số\(a_1,a_2,...,a_{2007}\) ( \(b_i\ne b_j\) nếu i \(\ne\) j và \(a_i\ne b_i\)). Chứng minh: Trong các số hiệu sau: \(\left(a_1-b_1\right),\left(a_2-b_2\right),...,\left(a_{2007}-b_{2007}\right)\) có ít nhất một số âm và ít nhất một số dương.
21 tháng 4 2021 lúc 22:40
Cho \(P\left(x\right)=x^{16}+a_{15}x^{15}+a_{14}x^{14}+...+a_1x+a_0\), với \(a_i\in\left\{4,8,12,16\right\},\forall i=\overline{1,15}\). Chứng minh: \(P\left(x\right)+1\) bất khả quy trên Z[x].